Đề khảo sát câu lạc bộ học sinh giỏi môn Toán lớp 9 quận Hoàn Kiếm năm học 2018-2019. Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề).
Ngày khảo sát: 27/09/2018
Câu I (4,0 điểm).
a) Cho đa thức $ f(x)$ biết rằng: Nếu $ f(x)$ chia cho $ x-2$ thì được số dư bằng 3, nếu $ f(x)$ chia cho $ x-3$ thì được số dư bằng 4. Hãy tìm dư của phép chia $ f(x)$ cho $ (x-2)(x-3).$
b) Viết số $ {{2019}^{{2019}}}$ thành tổng các chữ số tự nhiên $ {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}}.$ Hỏi tổng các lập phương của có chia hết cho 6 không? Vì sao?
Câu II (2,0 điểm). Cho biểu thức $ P=frac{{2{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}-12x+45}}{{3{{x}^{3}}-19{{x}^{2}}+33x-9}}$ với $ x$ là số thực.
a) Rút gọn P
b) Tìm $ x$ để P > 0
Câu III (4,0 điểm).
a) Giải phương trình $ xleft( {frac{{3-x}}{{x+1}}} right)left( {x+frac{{3-x}}{{x+1}}} right)=2$ với $ x$ là ẩn số thực
b) Cho $ a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2abc=1$. Hãy tính giá trị của biểu thức: $ P=asqrt{{(1-{{b}^{2}})(1-{{c}^{2}})}}+bsqrt{{(1-{{a}^{2}})(1-{{c}^{2}})}}+csqrt{{(1-{{b}^{2}})(1-{{a}^{2}})}}-abc$
Câu IV (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc từ D xuống các cạnh AB, AC, BE, CF.
a) Chứng minh EF song song với MN.
b) Chứng minh MP + NQ = EF
c) Đường thẳng PQ cắt đoạn DE, DF lần lượt tại K, I và AD cắt EF, MN lần lượt tại G, O. Giả sử O là trung điểm của MN, khi đó tứ giác GIDK là hình gì?
Câu V (2,0 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên $ (x;y)$ của phương trình $ 2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4x=19$