Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 trường THCS ARCHIMEDES ACADEMY năm học 2018-2019. Thời gian làm bài 120 phút.
Câu I (2,0 điểm). Cho hai biểu thức
A = $ 1-frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}+1}}$, B = $ frac{{sqrt{x}+3}}{{sqrt{x}-2}}-frac{{sqrt{x}+2}}{{sqrt{x}-3}}+frac{{sqrt{x}+2}}{{x-5sqrt{x}+6}}$ với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
a) Rút gọn B
b) Tìm x để B > 0
c) Cho P = $ frac{text{A}}{text{B}}$. Tìm x để 2P = $ 2sqrt{x}-9$
Câu II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m. Bình phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi hình chữ nhật. Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật.
Câu III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}sqrt{{x+1}}+2sqrt{{y+2}}=3frac{1}{{sqrt{{x+1}}}}-frac{3}{{sqrt{{y+2}}}}=-2end{array} right.$
2) Cho phương trình: x2 – 2x + m – 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
x12 + 12 = 2x2 – x1x2
Câu IV (3,5 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). H là trực tâm của tam giác ABC. Từ B kẻ đường thẳng song song với HC. Từ C kẻ đường thẳng song song với HB. Hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Hãy chứng minh:
1. Tứ giác ABDC nội tiếp và AD là đường kính của đường tròn (O;R)
2. $ widehat{{text{BAH}}}text{ =}widehat{{text{ CAO}}}$
a. Gọi E là giao điểm của BC và HD; G là giao điểm của AE và OH. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC.
b. Cho $ widehat{{text{ABC }}}text{= 6}{{text{0}}^{text{0}}}$. Tính diện tích hình quạt tròn COD (ứng với cung nhỏ CD).
4. Nếu OH song song với BC thì tanB.tanC = 3 với B, C là hai góc của tam giác ABC.
Câu V (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3
Chứng minh rằng: $ 4left( {frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}} right)+5left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} right)ge 27$