Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9, Phòng giáo dục và đào tạo huyện Đan Phượng, TP Hà Nội năm học 2018-2019.
Ngày thi 23/10/2018. Thời gian làm bài 150 phút.
Bài 1: (5 điểm)
1. Cho biểu thức: displaystyleP=fracxsqrtx+26sqrtx−19x+2sqrtx−3−frac2sqrtxsqrtx−1+fracsqrtx−3sqrtx+3
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
2. Cho displaystylea=sqrt[3]2−sqrt3+sqrt[3]2+sqrt3. Chứng minh displaystylefrac64left(a2−3right)3−3a là số nguyên
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải phương trình displaystylex2−x−4=2sqrtx−1(1+x)
2. Nhà toán học De morgan (1806-1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: tôi x tuổi vào năm x2. Hỏi năm x2 đó ông bao nhiêu tuổi.
3. Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai:
a) A + 51 là số chính phương
b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1
c) A – 38 là số chính phương
Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm x và y biết displaystyle2x2+4x−3y3+5=0 và displaystylex2y2+2x+y2=0
b) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn displaystylex2y+xy−2x2−3x+4=0
Bài 4: (6 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BI, CK
a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB;
Biết SAKI = SBKH = SCHI. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
2) Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (0; R) và đường cao AH = R√2 . Gọi M và N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng 3 điểm M, O, N thẳng hàng.
Bài 5: (1 điểm)
Với 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1, chứng minh:
displaystylefrac1−x2x+yz+frac1−y2y+zx+frac1−z2z+xyge6