Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 tỉnh Bình Dương năm học 2018-2019. Thời gian làm bài 150 phút.
Đề thi gồm 5 câu tự luận.
Câu 1: (4 điểm)
a) Tìm các chữ số x và y sao cho displaystyleoverlinexxyy=(overlinexx)2+(overlineyy)2
b) Tìm chữ số tận cùng của số displaystyleN=9999999999999999999
Câu 2: (3 điểm)
Giả sử phương trình: displaystylex2+ax+b=0 có nghiệm displaystylex1,x2 và phương trình displaystylex2+cx+d=0 có nghiệm displaystylex3,x4. Chứng minh rằng:
displaystyle2left(x1+x3right)left(x1+x4right)left(x2+x3right)left(x2+x4right)=2(b−d)2−left(a2−c2right)(b−d)+(b+d)(a+c)2
Câu 3: (5 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho displaystylex2−668xy−669y2=2019
b) Giải hệ phương trình: displaystyle left{ {begin{array}{*{20}{l}} {2x+frac{2}{x}+2y+frac{2}{y}=9} {4{{x}^{2}}+frac{4}{{{{x}^{2}}}}+4{{y}^{2}}+frac{4}{{{{y}^{2}}}}=25} end{array}} right.
Câu 4: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O), lấy một điểm M (M ≠ C, M ≠ D) trên cung CD của đường tròn (O). Chứng minh: displaystyleMA+MC=sqrt2MB
Câu 5: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại điểm M (M ≠ A, M ≠ B) tùy ý trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B lần lượt ở C và D.
a) Xác định vị trí của điểm M sao cho chu vi tam giác COD nhỏ nhất
b) Gọi E là giao điểm của OC với AM, F là giao điểm của OD với BM. Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD có bán kính nhỏ nhất.