Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 tỉnh Bình Dương năm học 2018-2019. Thời gian làm bài 150 phút.
Đề thi gồm 5 câu tự luận.
Câu 1: (4 điểm)
a) Tìm các chữ số x và y sao cho $ displaystyle overline{{xxyy}}={{(overline{{xx}})}^{2}}+{{(overline{{yy}})}^{2}}$
b) Tìm chữ số tận cùng của số $ displaystyle N={{999999999}^{{{{{999999}}^{{{{{999}}^{9}}}}}}}}$
Câu 2: (3 điểm)
Giả sử phương trình: $ displaystyle {{x}^{2}}+ax+b=0$ có nghiệm $ displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ và phương trình $ displaystyle {{x}^{2}}+cx+d=0$ có nghiệm $ displaystyle {{x}_{3}},{{x}_{4}}$. Chứng minh rằng:
$ displaystyle 2left( {{{x}_{1}}+{{x}_{3}}} right)left( {{{x}_{1}}+{{x}_{4}}} right)left( {{{x}_{2}}+{{x}_{3}}} right)left( {{{x}_{2}}+{{x}_{4}}} right)=2{{(b-d)}^{2}}-left( {{{a}^{2}}-{{c}^{2}}} right)(b-d)+(b+d){{(a+c)}^{2}}$
Câu 3: (5 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho $ displaystyle {{x}^{2}}-668xy-669{{y}^{2}}=2019$
b) Giải hệ phương trình: $ displaystyle left{ {begin{array}{*{20}{l}} {2x+frac{2}{x}+2y+frac{2}{y}=9} {4{{x}^{2}}+frac{4}{{{{x}^{2}}}}+4{{y}^{2}}+frac{4}{{{{y}^{2}}}}=25} end{array}} right.$
Câu 4: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O), lấy một điểm M (M ≠ C, M ≠ D) trên cung CD của đường tròn (O). Chứng minh: $ displaystyle MA+MC=sqrt{2}MB$
Câu 5: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại điểm M (M ≠ A, M ≠ B) tùy ý trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B lần lượt ở C và D.
a) Xác định vị trí của điểm M sao cho chu vi tam giác COD nhỏ nhất
b) Gọi E là giao điểm của OC với AM, F là giao điểm của OD với BM. Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD có bán kính nhỏ nhất.