Đề thi HSG môn Toán 9 quận Đống Đa 2018-2019

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9, phòng giáo dục và đào tạo quận Đống Đa, năm học 2018-2019. Ngày thi 3/11/2018. Thời gian: 120 phút.

Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức: $displaystyle P=left( {frac{{sqrt{a}+1}}{{sqrt{{ab}}+1}}+frac{{sqrt{{ab}}+sqrt{a}}}{{1-sqrt{{ab}}}}+1} right):left( {1+frac{{sqrt{{ab}}+sqrt{a}}}{{1-sqrt{{ab}}}}-frac{{sqrt{a}+1}}{{sqrt{{ab}}+1}}} right)$

1. Rút gọn P

2. Cho $displaystyle frac{1}{{sqrt{a}}}+frac{1}{{sqrt{b}}}=6$. Tìm GTLN của P.

Câu 2: (5 điểm)

1. Giải phương trình $displaystyle 2left( {{{x}^{2}}+2x+3} right)=5sqrt{{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+2}}$ với $displaystyle x$ là ẩn số

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện: $displaystyle 2x{{y}^{2}}+x+y+1={{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+xy$

Câu 3: (4 điểm)

1. Với các số thực a, b > 0 và thỏa mãn điều kiện 2a + b ≤ 3, chứng minh:

$displaystyle frac{2}{{sqrt{{a+3}}}}+frac{1}{{sqrt{{b+3}}}}ge frac{3}{2}$

2. Hãy cho biết kết quả của phép tính 2¹⁰⁰ có bao nhiêu chữ số? Vì sao?

Câu 4: (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH. Gọi D là điểm thuộc tia HC sao cho HD = HA. Đường vuông góc BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh tam giác AEB vuông cân

2. Gọi M là trung điểm của BE. Tính số đo góc AHM.

3. Gọi I là trung điểm của AH, đường vuông góc với BC tại C cắt BI tại K. Chứng minh KA = KC.

Câu 5: (1 điểm)

Chia các số 1, 2, 3, 4,…,199, 200 thành 50 nhóm. Chứng minh có ít nhất một nhóm có 3 số là số đo ba cạnh của một tam giác.