Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9, phòng giáo dục và đào tạo quận Đống Đa, năm học 2018-2019. Ngày thi 3/11/2018. Thời gian: 120 phút.
Câu 1: (4 điểm)
Cho biểu thức: displaystyleP=left(fracsqrta+1sqrtab+1+fracsqrtab+sqrta1−sqrtab+1right):left(1+fracsqrtab+sqrta1−sqrtab−fracsqrta+1sqrtab+1right)
1. Rút gọn P
2. Cho displaystylefrac1sqrta+frac1sqrtb=6. Tìm GTLN của P.
Câu 2: (5 điểm)
1. Giải phương trình displaystyle2left(x2+2x+3right)=5sqrtx3+3x2+3x+2 với displaystylex là ẩn số
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện: displaystyle2xy2+x+y+1=x2+2y2+xy
Câu 3: (4 điểm)
1. Với các số thực a, b > 0 và thỏa mãn điều kiện 2a + b ≤ 3, chứng minh:
displaystylefrac2sqrta+3+frac1sqrtb+3gefrac32
2. Hãy cho biết kết quả của phép tính 2100 có bao nhiêu chữ số? Vì sao?
Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH. Gọi D là điểm thuộc tia HC sao cho HD = HA. Đường vuông góc BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh tam giác AEB vuông cân
2. Gọi M là trung điểm của BE. Tính số đo góc AHM.
3. Gọi I là trung điểm của AH, đường vuông góc với BC tại C cắt BI tại K. Chứng minh KA = KC.
Câu 5: (1 điểm)
Chia các số 1, 2, 3, 4,…,199, 200 thành 50 nhóm. Chứng minh có ít nhất một nhóm có 3 số là số đo ba cạnh của một tam giác.