Bài 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường phân giác BI
- Chứng minh rằng đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC.
- Cho biết $ AB=a$. Chứng minh rằng $ AI=left( {sqrt{2}-1} right)a$. Từ đó suy ra $ tan {{22}^{o}}30’=sqrt{2}-1$
Bài 22: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8, AC = 15. Vẽ đường cao Ah. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E.
- Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.
- Tính độ dài HE.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC.
- Chứng minh AD.AB = AE.AC
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M;MD) và (N;NE)
- Gọi P là trung điểm MN; Q là giao điểm của DE và AH. Giả sử AB = 6cm;
AC = 8cm. Tính độ dài PQ
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d là tiếp tuyến đường tròn tại A. Các tiếp tuyến đường tròn tại B và C cắt D theo thứ tự ở D và E.
- Tính DOE
- Chứng minh DE = BD + CE
- Chứng minh: $ BD.CE={{R}^{2}}$ (R là bán kinh đường tròn tâm O)
- Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đường tròn (O; r), $ (O;{{r}_{1}}),(O;{{r}_{2}})$ theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các $ Delta ABC,Delta ABH,Delta ACH$. Chứng minh rằng:
- AB + AC – BC = 2r
- $ R+{{r}_{1}}+{{r}_{2}}=AH$
- $ {{r}^{2}}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}$
Bài 26: Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D, E sao cho $ widehat{{DOE}}={{60}^{o}}$
- Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi.
- Chứng minh $ Delta BODne Delta OED$. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.
- Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.
Bài 27: Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB và cùng chiều. Vẽ góc vuông zOt sao cho Oz cắt Ax tại C và Ot cắt By tại D
- Chứng minh CO là tia phân giác của góc ACD
- Chứng minh CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB
- AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD
Bài 28: Tính cạnh huyền của một tam giác vuông, biết r là bán kính đường tròn nội tiếp và R là bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc vuông.
Bài 29: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp điểm). Kẻ $ BEbot AC$ và $ CFbot AB$ $ (Ein AC,Fin AB)$, BE và CF cắt nhau tại H.
- Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi
- Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng
- Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O)
Bài 30: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC
- Chứng minh $ OAbot BC$ và tính tích OH.OA theo R
- Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Chứng minh CD // OA
- Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm CE
Bài 31: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC
- Chứng minh $ OAbot BC$ và tính tích OH.OA theo R
- Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Chứng minh CD // OA
- Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm CE
Bài 32: Từ điểm I bên ngoài (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB và ICD (không qua tâm O). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD
- Chứng minh: O, I, M, N cùng thuộc một đường tròn
- Đường tròn (OIMN) cắt (O) tại E và F. Chứng minh: IE, IF là hai tiếp tuyến của (O)
- EF cắt OM tại K và cắt OI tại H. Chứng minh: OM.OK = OH.OI = $ {{R}^{2}}$
Bài 33: Từ điểm I ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai cát tuyến IAB và ICD (không qua O). Gọi M, N lần lượt là 2 trung điểm của 2 dây cung AB, CD
- Chứng minh: $ OMbot AB;ONbot CD;OM+ONle 2R,CDle 2R,AB<2R$
- Chứng tỏ có 1 đường tròn qua 4 điểm O, I, M, N. Xác định tâm K của đường tròn này.
- Đường tròn (K) cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ IE, IF là hai tiếp tuyến của (O). Suy ra cách dựng tiếp tuyến vẽ từ I đến (O)
- Chứng tỏ: $ AB>CDLeftrightarrow OM<ON$. Nói rõ vị trí tương đối của 2 cát tuyến IAB và ICD lúc AB = CD
Bài 34: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm). Cho biết góc AMB bằng $ {{40}^{o}}$
- Tính góc AOB
- Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.
Bài 35: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M
- Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi
- Điểm A phải cách điểm O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O).
Bài 36: Trên tiếp tuyến tại A của (O; R) lấy điểm B với AB = R. Từ A kẻ đường vuông góc với OB tại H, cắt (O) tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I.
- Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
- Tính theo R độ dài BH, IH và AI
Bài 37: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là đường thẳng vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AB và không trùng với A, B. Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng:
- $ displaystyle widehat{{COD}}={{90}^{o}}$
- CD = AC + BD
- Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
- Đường tròn qua C, D tiếp xúc với AB tại O
Bài 38: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M bất kì thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N
- Tính số đo góc MON
- Chứng minh MN = AM + BN
- Tính tích AM.BN theo R
Bài 39: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax, By cùng phía nới nửa đường tròn đối với AB. Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho $ widehat{{COD}}={{90}^{o}}$; OD kéo dài cắt CA tại I. Chứng minh:
- OD = OI
- CD = AC + BD
Bài 40: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M cắt trung trực của AB tại I. Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (C nằm trong góc AOM). Chứng minh:
- OC, OD theo thứ tự là các tia phân giác của góc AOM và BOM
- CA, DB là hai tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
- $ AC.BD=frac{{A{{B}^{2}}}}{4}$