154 bài tập hay chọn lọc – Hình học chương 2 – Toán 9

Bài 71: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Gọi C và D lần lượt là điểm đối xứng của A qua O và O’. Một đường thẳng (d) bất kì qua A cắt (O) và (O’) tại M và N

1. Chứng minh: C, B, D thẳng hàng.
2. AC cắt (O) tại E, AD cắt (O’) tại F. Chứng minh: C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
3. Chứng minh: trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi (d) thay đổi. Suy ra trung điểm của MN luôn di động trên một đường tròn cố định.
4. Định vị trí của đường thẳng (d) để MN có độ dài lớn nhất.

Bài 72: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $ (Bin (O))$

1. Chứng minh: $ widehat{{BAC}}={{90}^{o}}$
2. Gọi D là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh: B, A, D thẳng hàng.
3. Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’
4. Chứng minh: $ BC=2sqrt{{RR’}}$

Bài 73: Cho góc vuông xOy. Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Vẽ đường tròn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M). Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N)

1. Chứng minh hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
2. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (I) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C. Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông
3. Gọi giao điểm của hai đường tròn (I), (K) là A và B. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
4. Giả sử I và K theo thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a (không đổi). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 74: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (Ax, By cùng thuộc mặt phẳng bờ AB). Qua điểm E (E không trùng với A và B) kẻ tiếp tuyến với (O) cắt tia Ax, tai By lần lượt tại M và N.

1. Chứng minh tam giác MON vuông
2. Gọi tia BE cắt tia Ax tại C. Chứng minh M là trung điểm AC
3. Gọi tia AE cắt By tại D. Xác định vị trí của điểm E để diện tích tứ giác MNDC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 75: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây CD vuông góc với OA tại H.

1. Tứ giác ACOD là hình gì? Vì sao ?
2. Chứng minh các tam giác OAC và CBD là các tam giác đều.
3. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm D, O, M thằng hàng
4. Chứng minh đẳng thức $ C{{D}^{2}}=4AH.HB$

Bài 76: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa đường tròn tại C. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên (d). Chứng minh:

1. C là trung điểm của DE
2. (A; AD) và (B; BE) tiếp xúc ngoài nhau tại một điểm H thuộc đường kính AB.

Bài 77: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Gọi N là điểm đối xứng với A qua M, BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.

1. Chứng minh: $ NEbot AB$
2. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh: FA là tiếp tuyến của (O)
3. Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)

Bài 78: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Từ một điểm E trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó gặp Ax và By lần lượt tại C và D. Tia CO cắt tia DB ở F.

1. Tính số đo ODA và chứng tỏ rằng OD song song với BC
2. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia OD tại E. Chứng minh: EC là tiếp tuyến của (O)
3. Đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại điểm M.
4. Chứng minh rằng OE là trung tuyến của $ Delta AOM$

Bài 79: Cho đườn tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Từ một điểm E trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó gặp Ax và By lần lượt tại C và D. Tia CO cắt tia DB ở F.

1. Chứng minh góc COD vuông và tam giác DCF cân
2. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD
3. Cho $ AC=frac{R}{2}$. Tính diện tích tam giác DCF theo R.

Bài 80: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 6cm và một điểm A cách O một khoảng 10cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm)

1. Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB
2. Vẽ cát tuyến ACD, gọi I là trung điểm của đoạn CD. Hỏi khi C chạy trên đường tròn (O) thì I chạy trên đường nào ?

Bài 81: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho $ widehat{{MAB}}={{60}^{o}}$. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H

1. Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B, BM)
2. Chứng minh $ M{{N}^{2}}=4AH.HB$
3. Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.
4. Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F. Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng.

Bài 82: Cho đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm bất kì trên đường tròn và H là hình chiếu của C trên AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến AD và BE đến đường tròn (C;CH). Chứng minh :

1. D, C, E thẳng hàng
2. DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
3. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tứ giác ABED lớn nhất.

Bài 83: Cho đường tròn đường kính 10cm, một đường thẳng d cách tâm O một khoảng bằng 3cm.

1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O)
2. Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B. Tính độ dài dây AB
3. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tính độ dài BC và số đo $ widehat{{CAB}}$ (làm tròn đến độ)
4. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M. Tính độ dài BM

Bài 84: Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua M, N (M ở giữa C và N)

1. Chứng minh CM = DN
2. Giả sử $ widehat{{AOB}}={{90}^{o}}$ . Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND

Bài 85: Cho đường tròn (O; R), H là điểm bên trong (O) (H khác O). CD là đường kính qua H (HC > HD), AB là dây cung vuông góc với CD tại H.

1. Chứng tỏ CD là đường trung trực của AB
2. Chứng minh: $ widehat{{CAD}}=widehat{{CBD}}={{90}^{o}}$
3. Chứng minh: HA.HB = HC.HD theo 2 cách:

• Dùng 2 tam giác đồng dạng
• Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Trường hợp OH = R/2, chứng minh $ Delta ABC$ đều và cạnh có độ dài $ Rsqrt{3}$. Suy ra cách vẽ tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên đường tròn (O; R) cho trước

Bài 86: Cho đường tròn (O; R) và tiếp tuyến xy tại điểm A cố định trên đường tròn. Từ điểm B tùy ý trên (O) (khác A), kẻ $ BHbot xy$. Đường phân giác trong góc AOB cắt BH tại C và cắt xy tại M. Chứng minh:

1. BA là tia phân giác của OBH
2. MB là tiếp tuyến của (O; R)
3. C luôn luôn thuộc một đường tròn cố định khi B thay đổi.

Bài 87: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN của (O) (M, N là hai tiếp điểm)

1. $ Delta AMN$là tam giác gì? Vì sao ?
2. Đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt đường thẳng AN tại P. Chứng minh: AP = PO
3. Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh OH.OA = $ {{R}^{2}}$

Bài 88: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ một điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). Hai đường cao AD và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H

1. Chứng minh rằng ba điểm M, H, O thẳng hàng
2. Chứng minh rằng tứ giác AOBH là hình thoi.
3. Khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào ?

Bài 89: Cho đường tròn (O; R) và điểm I trong (O) (I khác O)

1. Hãy vẽ dây cung AB qua I và nhận I làm trung điểm
2. Gọi (I) là đường tròn tâm I có đường kính AB, đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt đường tròn (I) tại E và F. Chứng tỏ C, D, E và F cách đều A và B
3. Chứng minh: AEBF là hình vuông
4. So sánh 2 tích IE.IF và IC.ID
5. Biết OI = R/2, tính độ dài các cạnh và diện tích của $ Delta ACD$ và hình vuông AEBF theo R.

Bài 90: Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định với OI = R/2. AB là dây cung quay quanh I.

1. Tìm vị trí C, D của A (hay B) tương ứng lúc độ dài IA (hay IB) dài nhất, ngắn nhất.
2. Chứng tỏ tập hợp các trung điểm M của dây cung AB là một đường tròn, tìm tâm và bán kính đường tròn này.
3. Gọi EF là vị trí giới hạn của dây cung AB lúc M tiến dần đến I. Chứng minh:

• $ EFbot CD$
• EF là độ dài ngắn nhất của dây cung AB và CD là độ dài lớn nhất của AB.