Bài 131: Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O’) tiếp xúc với AB tại B. Hai đường tròn này luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau. Hỏi tiếp điểm M của hai đường tròn di động trên đường nào ?
Bài 132: Cho điểm M trên (O; R) đường kính AB. Gọi H là trung điểm của BM, OH cắt (O) tại I và cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở điểm D. Gọi N là hình chiếu của I trên AM. Chứng minh: NI và DM là các tiếp tuyến của (O)
Bài 133: Cho 2 đường tròn ngoài nhau (O; R) và (O’; r) với R > r, AB là tiếp tuyến chung ngoài (A là tiếp điểm trên (O), B là tiếp điểm trên (O’)). Từ O’ vẽ O’C$ bot OA$
- Chứng tỏ ABO’C là hình chữ nhật
- Chứng tỏ O’C là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R’ = R – r
- Suy ra cách dựng đường trung tuyến chung ngoài AB khi cho trước 2 đường tròn (O; R) và (O’; r)
- Tương tự, dựng tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn (O; R) và (O’; r)
- Tính độ dài của tiếp tuyến chung ngoài và tiếp tuyến chung trong và khoảng cách hai tâm d = OO’ theo hai bán kính
Bài 134: Cho (O; R) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By nằm cùng một nửa mặt phẳng. Từ E thuộc (O). Ta vẽ tiếp tuyến với (O) cắt Ax, By lần lượt tại M và N
- Chứng minh: AB cũng là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN
- $ AN.NB=frac{{{{R}^{2}}}}{4}$
- Kẻ $ EQbot AB$ (H thuộc AB). Chứng minh AN cắt EQ tại I. Chứng minh rằng M, I, B thẳng hàng và I là trung điểm EQ
- Tìm AM, AN để hình thang AMNB có chu vi bằng 14cm, biết AB = 6cm
Bài 135: Cho (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $ (Bin (O);Cin (O’))$. Tiếp tuyến chung trong của (O) và (O’) cắt BC tại I
- Chứng tỏ các góc $ widehat{{BAC}}$ và $ displaystyle widehat{{OIO’}}$ là góc vuông.
- Kẻ đường kính BD của (O). Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.
- Tính theo R và r độ dài BC, BA, CA
- Kẻ đường kính CE của (O’). Chứng minh: $ {{S}_{{Delta ABC}}}={{S}_{{Delta ADE}}}$
Bài 136: Cho (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại E. Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $ (Ain (O),Bin (O’))$
- Tính diện tích tứ giác AOO’B theo R và R’
- Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh : B, E, D thẳng hàng
- Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và đường tròn đường kính OO’
Bài 137: Cho (O) đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB
- Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào với nhau?
- Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
- Gọi K là giao điểm của DB và (O’). Chứng minh: ba điểm E, C, K thẳng hàng.
- Chứng minh: KH là tiếp tuyến của (O)
Bài 138: Cho (O; R) và điểm A sao cho $ OA=Rsqrt{2}$, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O). (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E.
- Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao
- Tính số đo góc $ widehat{{DOE}}$
- Đoạn OA cắt (O) tại K. Chứng minh: K là tâm đường tròn nội tiếp $ Delta ABC$. Tính bán kính của đường tròn này?
- Tính độ dài BK theo R
Bài 139: Cho (O; 3cm) và điểm A sao cho OA = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC
- Tính độ dài OH
- Qua điểm M bất kì thuộc cung ngỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi $ Delta ADE$
Bài 140: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A. Vẽ đường tròn (B, BA) và đường tròn (C; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B)
Bài 141: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A. Vẽ các đường tròn (O) và (I) đi qua A và tiếp xúc với BC tại các điểm B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
- Các đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau
- AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (I)
- $ Delta OMI$ vuông
- BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $ Delta OMI$
Bài 142: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh:
- Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
- DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC
Bài 143: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A, có AB = a, BC = 2a. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai là D.
- Chứng minh: B, C, D thẳng hàng
- Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB, AC. Chứng minh: E, A, F thẳng hàng
- Tính theo a khoảng cách từ trung điểm O của BC đến EF
- Tính theo a diện tích tứ giác BCEF
Bài 144: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A có đường cao AH. Gọi I và K lần lượt là tâm của 2 đường tròn có đường kính HB và HC
- Chứng tỏ 2 đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với đường tròn qua 3 điểm A, B, C
- Đường tròn (I) cắt AB tại D, đường tròn (K) cắt AC tại E. Chứng minh ADHE là hình chữ nhật và AD.AB = AE.AC. Suy ra $ Delta ABC$đồng dạng với $ Delta AED$
- Chứng tỏ tứ giác BDEC có các góc đối bù nhau.
- Cho AH = 4 và HB = 3. Tính diện tích của tứ giác BDEC bằng 2 cách:
- i) Diện tích của nhiều tam giác
- ii) Diện tích của 2 tam giác
Bài 145: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A có $ widehat{B}={{60}^{o}}$ và BC = 2a. Vẽ đường kính AB và đường tròn (F) đường kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là H
- Chứng minh: B, H, C thẳng hàng.
- Chứng minh: AC tiếp xúc (E) và$ EFbot AH$ tại K
- Tính theo a diện tích $ Delta AKF$
- Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: A, E, H, M, F cùng thuộc một đường tròn.
- Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao
- Chứng minh: DM.DA = DN.DB
- Chứng minh: MN là tiếp tuyến chung của nửa đường tròn có đường kính AC và CB
- Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?
Bài 146: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh:
- $ Delta EBF$ cân
- $ Delta HAF$ cân
- HA là tiếp tuyến của (O)
Bài 147: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm B, bán kính BA, đường tròn này cắt AH tại điểm thứ hai là D.
- Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn (B; BA)
- Gọi I là đối xứng của B qua AH, đường thẳng AI cắt CD tại E. Chứng minh: A, H, E, C cùng thuộc một đường tròn. Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn này.
Bài 148: Cho $ Delta ABC$ đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB và AC. Đường thẳng EF cắt AB ở I và cắt AC ở K. Chứng minh:
- A là tâm đường tròn bàng tiếp $ Delta HIK$
- BK là CI là các đường cao của $ Delta ABC$
Bài 149: Cho $ Delta ABC$ có I là tâm đường tròn nội tiếp và O là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Gọi D và F lần lượt là tiếp điểm của (I) và (O) trên BC. Chứng minh rằng BD = CF