Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.
Ngày thi 27/3/2013.
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: mathrmA=left(sqrtmathrmx−sqrtmathrm50−sqrtmathrmx+sqrtmathrm50right)sqrtmathrmx+sqrtmathrmxmathrm2−mathrm50 với mathrmxgesqrt50
b) Cho mathrmx+sqrtmathrm3mathrm=2. Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Giải phương trình: fracmathrm4xmathrmxmathrm2−mathrm5x+6mathrm+fracmathrm3xmathrmxmathrm2−mathrm7x+6mathrm=6
b) Giải hệ phương trình sau: displaystyle left{ begin{array}{l}sqrt{mathrm{x}}mathrm{+}sqrt{mathrm{y}}mathrm{+4}sqrt{mathrm{xy}}mathrm{=16}mathrm{x+y=10}end{array} right.
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu mathrm4mathrmamathrm2mathrm+3ab−mathrm11mathrmbmathrm2 chia hết cho 5 thì a4−b4 chia hết cho 5.
b) Cho phương trình displaystyletextatextxtext2text+bx+1,=0, với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết mathrmx=fracsqrtmathrm5−sqrtmathrm3sqrtmathrm5mathrm+sqrtmathrm3 là nghiệm của phương trình.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho mathrmAmathrmnmathrm=fracmathrm1mathrm(2n+1)sqrtmathrm2n−mathrm1 với n ∈ N*. Chứng minh rằng:
A1 + A2 + A3 +…+ An < 1