A. Lý thuyết
1. Tỉ lệ thức
1.1 Định nghĩa
| – Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $ frac{a}{b}=frac{c}{d}$
– Tỉ lệ thức $ frac{a}{b}=frac{c}{d}$ còn được viết là $ a:b=c:d$ |
Ví dụ: $ frac{28}{24}=frac{8}{4};$ $ frac{3}{10}=frac{2,1}{7}$
1.2 Tính chất
| – Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu $ frac{a}{b}=frac{c}{d}$ thì $ a.d=b.c$ – Tính chất 2 (điều kiện để bốn số lập thành tỉ lệ thức): $ frac{a}{b}=frac{c}{d}$; $ frac{a}{c}=frac{b}{d}$; $ frac{d}{b}=frac{c}{a};$ $ frac{d}{c}=frac{b}{a}$ |
Ví dụ: $ frac{6}{9}=frac{42}{63}Leftrightarrow 6.63=9.42$
2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
| – Từ dãy tỉ số bằng nhau $ frac{a}{b}=frac{c}{d}=frac{e}{f}$ ta suy ra:
$ frac{a}{b}=frac{c}{d}=frac{e}{f}=frac{a+c+e}{b+d+f}=frac{a-c+e}{b-d+f}$ |
B. Bài tập
Bài toán 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên
a) $ 1,2:3,36$ c) $ 3frac{1}{7}:2frac{5}{14}$ e) $ 2frac{1}{3}:4frac{2}{3}$
b) $ frac{3}{8}:0,54$ d) $ 3,7:4,5$ f) $ 5frac{1}{7}:2frac{1}{3}$
Bài toán 2: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?
a) $ frac{3}{5}:6$ và $ frac{4}{5}:8$ c) $ 5,1:15,3$ và $ 7:21$ e) $ left( -13,5 right):22,75$ và $ left( -4 right):7$
b) $ 2frac{1}{3}:7$ và $ 3frac{1}{4}:13$ d) $ 4frac{1}{2}:7frac{1}{2}$ và $ 2,7:4,5$ f) $ 4,86:left( -11,34 right)$ và $ left( -9,3 right):21,6$
Bài toán 3: Có thể lập được các tỉ lệ thức từ các số sau không?
a) 1,75; 20; 34; 29,75; c) 3; 6; – 12; – 24;
b) 1,3; 3,2; 2,1; 5,4; d) 6; 9; 1,2; 1,8
Bài toán 4: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các đẳng thức sau:
a) $ 5.left( -27 right)=left( -9 right).15$ c) $ left( -6 right).29frac{1}{4}=left( -27 right).6frac{1}{2}$
b) $ 0,45.3,16=3,555.0,4$ d) $ 12.20=15.16$
Bài toán 5: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ bốn trong năm số sau (nếu có):
a) 1; 3; 9; 27; 81; c) 1,75; 2; 34; 29,75; 11,9
b) 1; 5; 25; 125; 625. d) 1,3; 3,2; 2,1; 5,4; 2,3
Bài toán 6: Tìm x, biết:
| 1. $ 2,5:7,5=x:frac{3}{5}$ | 11. $ 3:0,4x=1:0,01$ |
| 2. $ 2frac{2}{3}:x=1frac{7}{9}:0,2$ | 12. $ 1,35:0,2=1,25:0,1x$ |
| 3. $ 3frac{4}{5}:40frac{8}{15}=0,25:x$ | 13. $ 3frac{1}{3}:2,4=0,35x:0,35$ |
| 4. $ frac{5}{6}:x=20:3$ | 14. $ frac{x}{-27}=-frac{3}{x}$ |
| 5. $ x:2,5=0,003:0,75$ | 15. $ frac{-9}{x}=frac{-x}{frac{4}{49}}$ |
| 6. $ frac{2}{3}:0,4=x:frac{4}{5}$ | 16. $ frac{x}{-15}=frac{-60}{x}$ |
| 7. $ 2,5:4x=0,5:0,2$ | 17. $ frac{-2}{x}=frac{-x}{frac{8}{25}}$ |
| 8. $ frac{1}{5}x:3=frac{2}{3}:0,25$ | 18. $ displaystyle frac{x-2}{x-1}=frac{x+4}{x+7}$ |
| 9. $ 1,25:0,8=frac{3}{8}:0,2x$ | 19. $ displaystyle frac{x-3}{5-x}=frac{5}{7}$ |
| 10. $ 3x:2,7=frac{1}{3}:2frac{1}{4}$ | 20. $ 1frac{1}{3}:0,8=frac{2}{3}:left( 0,1x right)$ |
Bài toán 7: Tìm tỉ số $ frac{x}{y}$ biết rằng $ frac{2x-y}{x+y}=frac{2}{3}.$
Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu $ frac{a+b}{b+c}=frac{c+d}{d+a}$ $ left( c+dne 0 right)$ thì $ a=c$ hoặc $ a+b+c+d=0.$
Bài toán 9: Biết $ frac{t}{x}=frac{4}{3};$ $ frac{y}{z}=frac{3}{2};$ $ frac{z}{x}=frac{1}{6},$ hãy tìm tỉ số $ frac{t}{y}.$
Bài toán 10: Tìm số hữu tỉ x biết rằng $ frac{x}{{{y}^{2}}}=2$ và $ frac{x}{y}=16$ $ left( yne 0 right).$
Bài toán 11: Tìm tỉ số $ frac{a+b}{b+c}$ biết rằng $ frac{b}{a}=2$ và $ frac{c}{b}=3$
Bài toán 12: Tính tỉ số $ frac{x+y}{x-y},$ biết rằng $ frac{x}{y}=a,$ $ xne y$ và $ yne 0.$
Bài toán 13: Tìm x, y biết:
| 1. $ frac{x}{3}=frac{y}{5}$ và $ x+y=-32$ | 1. $ frac{x}{y}=frac{2}{5}$ và$ xy=40$ |
| 2. $ frac{x}{y}=frac{9}{11}$ và $ x+y=60$ | 2. $ frac{x}{4}=frac{y}{7}$ và $ xy=112$ |
| 3. $ frac{x}{y}=frac{1,2}{2,5}$ và $ y-x=26$ | 3. $ frac{x}{5}=frac{y}{4}$ và $ {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1$ |
| 4. $ frac{x}{2}=frac{y}{5}$ và $ x+y=-21$ | 4. $ 5x=7y$ và $ x+2y=51$ |
| 5. $ 7x=3y$ và $ x-y=16$ | 5. $ frac{x}{2}=frac{y}{3}$ và $ xy=24$ |
| 6. $ 5x=7y$ và $ y-x=18$ | 6. $ frac{x}{y}=frac{7}{3}$ và $ 5x-2y=87$ |
| 7. $ 7x=4y$ và $ y-x=24$ | 7. $ frac{x}{19}=frac{y}{21}$ và $ 2x-y=34$ |
| 8. $ frac{x}{3}=frac{y}{8}$ và $ x+y=-22$ | 8. $ displaystyle frac{x+4}{7+y}=frac{4}{7}$ và $ x+y=22$ |
| 9. $ frac{x}{3}=frac{y}{4}$ và $ xy=192$ | 9. $ frac{x}{5}=frac{y}{7}$ và $ x-y=10$ |
| 10. $ 4x=5y$ và $ xy=80$ | 10. $ frac{x}{2}=frac{y}{5}$ và $ xy=10$ |
Bài toán 14: Tìm x, y, z biết
| 1. $ frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{5}$ và $ x+y+z=-90$ | 11. $ 2x=3y;4y=5z$ và $ 2x+3y-4z=56$ |
| 2. $ 2x=3y=5z$ và $ x-y+z=-33$ | 12. $ frac{x}{3}=frac{y}{7};frac{y}{2}=frac{z}{5}$ và $ x+y+z=-10$ |
| 3. $ frac{x}{5}=frac{y}{6};frac{y}{8}=frac{z}{7}$ và $ x+y-z=69$ | 13. $ displaystyle frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{4}$ và $ displaystyle 2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}-5{{z}^{2}}=-405$ |
| 4. $ frac{x-1}{2}=frac{y+3}{4}=frac{z-5}{6}$ và $ 5z-3x-4y=50$ | 14. $ frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{4}$ và $ x.y.z=648$ |
| 5. $ 2a=3b,5b=7c$ và $ 3a+5c-7b=30$ | 15. $ 9x=6y;x=frac{z}{2}$ và $ x+y+z=27$ |
| 6. $ x:y:z=3:8:5$ và $ 3x+y-2z=14$ | 16. $ frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{4}$ và $ x+y+z=27$ |
| 7. $ frac{x}{1}=frac{y}{2}=frac{z}{3}$ và $ 4x-3y+2z=36$ | 17. $ 6x=4y=3z$ và $ 2x+3y-5z=-21$ |
| 8. $ x:y:z=3:5:left( -2 right)$ và $ 5x-y+3z=124$ | 18. $ frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{4}$ và $ 2x+3y-5z=-21$ |