A. Lý thuyết
1. Đại lượng tỉ lệ thuận
1.1 Định nghĩa
| – Nếu đai lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $ y=kx$ (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k
– Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k (khác 0) thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $ frac{1}{k}$ và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ thuận với nhau. |
Ví dụ: $ y=3x$ – y tỉ lệ thuận với x theo hệ số 3, hay x tỉ lệ thuận với y theo hệ số $ frac{1}{3}$
1.2 Tính chất
| Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:
– Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi. – Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia. Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau thì: $ frac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}}=frac{{{y}_{2}}}{{{x}_{2}}}=frac{{{y}_{3}}}{{{x}_{3}}}=…$ ; $ frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=frac{{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}};frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{3}}}=frac{{{y}_{1}}}{{{y}_{3}}};…$ |
2. Đại lượng tỉ lệ nghich
2.1 Định nghĩa
| – Nếu đai lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $ y=frac{a}{x}$ hay $ xy=a$ (với a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
– Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau. |
Ví dụ: $ y=frac{2}{x}$ – y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là 2.
2.2 Tính chất
| Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:
– Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi. – Tích hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia. Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì: $ begin{array}{l}{{x}_{1}}{{y}_{1}}={{x}_{2}}{{y}_{2}}={{x}_{3}}{{y}_{3}}=…=afrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=frac{{{y}_{2}}}{{{y}_{1}}};frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{3}}}=frac{{{y}_{3}}}{{{y}_{1}}};…end{array}$
|
3. Hàm số
3.1 Định nghĩa:
| Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số. |
3.2 Chú ý
| – Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.
– Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng công thức,… – Khi y là hàm số của x ta có thể viết: $ y=fleft( x right);y=gleft( x right);…$ |
4. Mặt phẳng tọa độ
4.1 Mặt phẳng tọa độ
| – Mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy) được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau: trục hoảnh Ox và trục tung Oy; điểm O là gốc tọa độ.
|
4.2 Tọa độ một điểm
| – Trên mặt phẳng tọa độ:
· Mỗi điểm M xác định một cặp số $ left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right).$ Ngược lại mỗi cặp số $ left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ xác định một điểm M. · Cặp số $ left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ gọi là tọa độ của điểm M, $ {{x}_{0}}$ là hoành độ, $ {{y}_{0}}$ là tung độ của điểm M · Điểm M có tọa độ $ left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ kí hiệu là $ Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ |
5. Đồ thị của hàm số $ y=axleft( ane 0 right)$
5.1 Đồ thị của hàm số $ y=fleft( x right)$
| – Đồ thị của hàm số $ y=fleft( x right)$ là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;y) trên mặt phẳng tọa độ.
– Một điểm H thuộc đồ thị (H) của hàm số $ y=fleft( x right)$ thì có tọa đọ thỏa mãn đẳng thức $ y=fleft( x right)$ và ngược lại. |
5.2 Đồ thị của hàm số $ y=axleft( ane 0 right)$
| – Đồ thị của hàm số $ y=axleft( ane 0 right)$là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
– Cách vẽ: Vẽ đường thẳng đi qua điểm O(0; 0) và A(1; a) |
B. Bài tập
DẠNG 1: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Bài toán 1: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận theo hệ số tỉ lệ – 2
a) Hãy biểu diễn y theo x
……………………………………………………………………………………………………………
b) Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
| x | -4 | 1 | $ displaystyle -frac{3}{2}$ | $ displaystyle frac{1}{2}$ | |||||
| y | $ displaystyle frac{3}{2}$ | -1 | 0 | 2 | 4 |
Bài toán 2: Gỉa sử x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, x1, x2 là hai giá trị khác nhau của x; là hai giá trị tương ứng của y
a) Tính biết
b) Tính biết
Bài toán 3: Gỉa sử x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, x1, x2 là hai giá trị khác nhau của x; là hai giá trị tương ứng của y
a) Tính biết
b) Tính biết
Bài toán 4: Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không nếu:
| x | 2,3 | 4,8 | -9 | -6 | -5 |
| y | 4,8 | 2,3 | -5 | -6 | -9 |
Bài toán 5: Cứ 100kg thóc thì cho 60kg gạo. Hỏi 2 tấn thóc thì cho bao nhiêu kilogam gạo?
Bài toán 6: Một tấn nước biển chứa 25kg muối. Hỏi 500g nước biển chứa bao nhiêu gam muối?
Bài toán 7: Dùng 8 máy thì tiêu thụ hết 70 lít xăng. Hỏi dùng 13 máy (cùng loại) thì tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng?
Bài toán 8: Biết rằng 14 m3 sắt cân nặng 109,2kg. Hỏi 7 m3 sắt cân nặng bao nhiêu?
Bài toán 9: Cho biết 12 công nhân xây một căn nhà trong 96 ngày thì xong. Hỏi nếu có 18 công nhân thì xây căn nhà đó hết bao nhiêu ngày? (Biết rằng năng suất làm việc của các công nhân là như nhau?
Bài toán 10: Ba công nhân có năng suất lao động tương ứng tỉ lệ với 3, 5, 7. Tính tổng số tiền ba người được thưởng nếu biết:
a) Tổng số tiền thưởng của người thứ nhất và người thứ hai là 5,6 triệu đồng
b) Số tiền thưởng của người thứ ba nhiều hơn số tiền thưởng của người thứ nhất là 2 triệu đồng
Bài toán 11: Biết độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3, 5, 7. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết:
a) Chu vi tam giác là 45m
b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và nhỏ nhất hơn cạnh còn lại 20m.
Bài toán 12: Cho tam giác ABC có số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ thuận với 3, 11, 16. Tìm số đo các góc của tam giác ABC.
Bài toán 13: Học sinh của ba lớp 7 cần trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp cần trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh biết số cây xanh mỗi lớp trồng và chăm sóc tỉ lệ với số học sinh lớp đó.
Bài toán 14: Ba đơn vị cùng vận chuyển 700 tấn hàng. Đơn vị A có 12 xe, trọng tải mỗi xe là 5 tấn. Đơn vị B có 15 xe, trọng tải mỗi xe là 3 tấn. Đơn vị C có 20 xe, trọng tải mỗi xe là 3,5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị đã vận chuyển bao nhiêu tấn hàng, biết rằng mỗi xe được huy động một số chuyến như nhau?
Bài toán 15: Chia số 117 thành ba phần tỉ lệ thuận với
a) 3; 4; 6
b) $ displaystyle frac{1}{3};frac{1}{4};frac{1}{6}$
Bài toán 16: Tìm ba số x, y, z biết rằng chúng tỉ lệ thuận với 3; 5; 7 và z – y = 1
Bài toán 17: Chia số 195 thành ba phần tỉ lệ với .
DẠNG 2: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
Bài toán 18: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Lập công thức liên hệ giữa hai đại lượng x, y và điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau
| x | -3 | 2 | 6 | ||
| y | -30 | 10 | -6 |
| x | -6 | -4,8 | -3 | -2,4 | 1,6 | 1,2 | 0,5 |
| y | 7,5 |
| x | -3 | -1 | $ displaystyle frac{-1}{3}$ | $ displaystyle frac{1}{3}$ | |||||
| y | $ displaystyle frac{1}{9}$ | $ displaystyle frac{1}{6}$ | 1,5 | -1,5 | $ displaystyle frac{-1}{6}$ | $ displaystyle frac{-1}{9}$ |
Bài toán 19: Một hình chữ nhật có diện tích 80m2. Các kích thước x và y (m) của hình chữ nhật có liên hệ gì với nhau? Lập bảng các giá trị của y tương ứng với các giá trị sau của x: 8; 10; 16; 20; 25.
Bài toán 20: Một ô tô đi quãng đường 135 km với vận tốc v (km/h) và thời gian t (h). Lập bảng các giá trị của t tương ứng với các giá trị sau của v: 20; 30; 45; 60; 75.
Bài toán 21: Theo bảng giá trị dưới đây, x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?
| x | 10 | 20 | 25 | 30 | 40 |
| y | 10 | 5 | 4 | $ displaystyle frac{10}{3}$ | 2,5 |
Bài toán 22: Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y, x1 và x2 là hai giá trị của x, y1 và y2 là hai giá trị tương ứng của y.
a) Biết x1=5, x2=2 và y1+y2=21. Tính y1 và y2
b) Biết x2=3, y1=7 và 2x1-3y2=30. Tính x1 và y2
Bài toán 23: Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y, x1 và x2 là hai giá trị của x, y1 và y2 là hai giá trị tương ứng của y.
a) Biết x1=3, x2=2 và 2y1+3y2=-26. Tính y1 và y2
b) Biết x2=-4, y1=-10 và 3x1-2y2=32. Tính x1 và y2
Bài toán 24: Để làm một công việc trong 8 giờ cần 30 công nhân. Nếu có 40 công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong mấy giờ?
Bài toán 25: Để đặt một đoạn đường sắt phải dùng 480 thanh ray dài 8m. Nếu thay bằng những thanh ray dài 10 thì cần bao nhiêu thanh ray?
Bài toán 26: Bạn Minh đi từ trường về nhà với vận tốc 12km/h thì đi hết nửa giờ. Nếu Minh đi với vận tốc 10km/h thì hết bao nhiêu thời gian?
Bài toán 27: Hai bánh xe răng cưa khớp với nhau. Bánh nhỏ có 27 răng quay 60 vòng trong 1 phút. Nếu bánh xe lớn có 36 răng thì nó quay được bao nhiêu vòng trong 1 phút?
Bài toán 28: Một đội 24 người trồng xong số cây dự định trong 5 ngày. Nếu đội được bổ sung thêm 6 người thì sẽ trồng xong số cây sớm hơn mấy ngày? Gỉa sử năng suất làm việc của mọi người như nhau.
Bài toán 29: Để làm một công việc trong 12 giờ cần 45 công nhân. Nếu số công nhân tăng thêm 15 người (với năng suất như sau) thì thời gian để hoàn thành công việc giảm đi mấy giờ?
Bài toán 30: Một ô tô I đi từ A đến B hết 6 giờ. Một ô tô II cũng đi từ A đến B hết 4,5 giờ. Tính vận tốc mỗi xe biết rằng vận tốc xe II lớn hơn vận tốc xe I 20km/h.
Bài toán 31: Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Vận tốc xe I là 45km/h, vận tốc xe II là 40km/h. Thời gian xe I đi ít hơn xe II là 30 phút. Tính quãng đường AB?
Bài toán 32: Gía hàng hạ 20%. Hỏi với cùng một số tiền có thể mua được bao nhiêu % hàng?
Bài toán 33: Bình mang số tiền đủ mua 20 quyển vở. Khi đến của hàng thấy giá vở hạ 20%. Hỏi Bình sẽ mua được bao nhiêu quyển vở?
Bài toán 34: Vận tốc của người đi xe máy, người đi xe đạp và người đi bộ tỉ lệ với các số 12; 4; và 1,5. Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B ít hơn thời gian người đi xe đạp từ A đến B là 2 giờ. Hỏi người đi bộ đi từ A đến B mất bao lâu?
Bài toán 35: Ba đội máy cày, cày trên ba cánh đồng có diện tích như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ 3 trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai là 2 máy và công suất của các máy như nhau?
Bài toán 36: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 50km/h thì hết 2 giờ 15 phút. Hỏi ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 45km/h thì hết bao nhiêu thời gian?
Bài toán 37: Một công nhân theo kế hoạch phải tiện xong 132 dụng cụ. Nhờ cải tiến kĩ thuật đáng lẽ tiện xong một công cụ phải mất 18 phút thì người ấy chỉ làm trong 12 phút. Hỏi với thời gian quy định, để tiện được 132 dụng cụ thì người đó tiện được bao nhiêu dụng cụ? Như vậy vượt mức quy định bao nhiêu dụng cụ?
Bài toán 38: Cho biết 5 công nhân hoàn thành một công việc trong 16 giờ. Hỏi 8 công nhân (với cùng năng suất như thế), hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu giờ?
Bài toán 39: Hai xe ô tô cùng đi từ A đến B. Biết vận tốc của ô tô thứ nhất bằng 60% vận tốc của ô tô thứ hai và thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B nhiều hơn thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là 4 giờ. Tính thời gian mỗi xe đi từ A đến B.
Bài toán 40: Đĩa của một chiếc xe đạp có 48 răng, ổ líp có 16 răng. Nếu đĩa quay được 30 vòng, 40 vòng, 45 vòng thì ổ líp quay được được bao nhiêu vòng?
DẠNG 3: HÀM SỐ. MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Bài toán 41: Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng là:
a)
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | $ -2$ | $ -3$ | 0 |
b)
| x | $ -12$ | $ -3$ | 10 | $ -12$ |
| y | 2 | 4 | 1 | 3 |
c)
| x | 5 | 6 | 7 | |
| y | 2 | 2 | 2 | 4 |
d)
| x | cam | quýt | bưởi |
| y | 1 | 2 | 3 |
e)
| x | $ -5$ | $ -3$ | $ -2$ | 1 | $ frac{1}{4}$ | $ frac{1}{5}$ |
| y | 15 | 7 | 8 | $ -6$ | $ -10$ | $ -15$ |
Bài toán 42: Cho hàm số $ y=fleft( x right)=frac{16}{x-2}$
a) Tìm các giá trị của x sao cho vế phải của công thức có nghĩa;
b) Hãy điền các giá trị tương ứng của hàm số $ y=fleft( x right)$ vào bảng sau
| $ x$ | $ -6$ | $ -3$ | $ -2$ | 1 | 3 | 6 | 10 |
| $ y=fleft( x right)$ |
Bài toán 43: Một hàm số được cho bằng công thức $ y=fleft( x right)=-{{x}^{2}}+2.$ Hãy tính $ fleft( -frac{1}{2} right);fleft( 0 right);fleft( 5 right)$
Bài toán 44: Một hàm số được cho bằng công thức $ y=f(x)={{x}^{2}}.$ Hãy tính $ fleft( -5 right),fleft( 5 right),fleft( -3frac{2}{5} right)$
Bài toán 45: Cho hàm số giá trị tuyết đối $ y=f(x)=left| 3x-1 right|$ a
a) Tính $ fleft( -2 right);fleft( 2 right);fleft( -frac{1}{4} right);fleft( frac{1}{4} right)$
b) Tìm x, biết $ fleft( x right)=10;fleft( x right)=-3$
Bài toán 46: Cho hàm số phần nguyên $ y=f(x)=left[ x right]$
a) Tính $ fleft( -3,7 right);fleft( 0,3 right);fleft( 11 right)$
b) Với giá trị nào của x thì $ fleft( x right)=3.$
Bài toán 47: Cho hàm số $ y=fleft( x right)=left| x-1 right|+2$
a) Tính $ fleft( -2 right);fleft( frac{1}{2} right)$
b) Với giá trị nào của x thì $ fleft( x right)=3.$
Bài toán 48: Biểu diễn trên hệ trục tọa độ Oxy
A(- 3; 2), B(4; – 1), C(3; 2), D(- 2; – 1)
Bài toán 49: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy cho biết vị trí các điểm:
a) Có hoành độ bằng 0;
b) Có tung độ bằng 0;
c) Có hoành độ bằng $ left| 1 right|$
d) Có tung độ bằng $ left| 2 right|$
Bài toán 50: Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy với đơn vị trên hai trục bằng nhau. Vẽ đường phân giác của góc phần tư I và III.
a) Đánh dấu điểm A trên đường phân giác có hoành độ – 3. Điểm A có tung độ bằng bao nhiêu?
b) Đánh dấu điểm B trên đường phân giác có tung độ – 2. Điểm B có hoành độ bằng bao nhiêu?
Bài toán 51: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các điểm $ Aleft( -2;1 right),Bleft( -6;1 right),Cleft( -6;6 right)$ và $ Dleft( -2;6 right)$
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Tính diện tích tứ giác ABCD, cho biết đơn vị trên các trục số bằng nhau và bằng 0,5cm.
DẠNG 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ $ y=ax$ $ left( ane 0 right)$
Bài toán 52: Vẽ đồ thị các hàm số sau
1. $ y=2x$ 5. $ y=x$ 9. $ y=left| x right|$
2. $ y=3x$ với x < 0 6. $ y=-5x$ 10. $ y=left| x right|-x$
3. $ y=-x$ 7. $ y=-2x$ 11. $ y=frac{left| x right|}{x}left( xne 0 right)$
4. $ y=frac{1}{3}x$ 8. y=-$frac{1}{3}x$ 12. $ y=-2x$ với $ xge 1$
Bài toán 53: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số
1. $ y=3x-2$ và $ y=x+2$
2. $ y=2x$ và $ y=x-1$
3. $ y=-x+2$ và $ y=2x-1$
4. $ y=2x-1$ và $ y=frac{1}{3}x+2$
5. $ y=3x$ và $ y=-3x$.
Bài toán 54: Cho hàm số $ y={{x}^{2}}-1.$Các điểm $ A(-3;8),$ $ B(-2;-5),$ $ Cleft( 1;0 right),$ $ Dleft( frac{1}{2};frac{3}{4} right)$ có thuộc đồ thị của hàm số không?
Bài toán 55: Cho hàm số $ y=5x-frac{1}{2}.$ Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số: $ Aleft( 0;-frac{1}{2} right)$