Đại số 9 – Chuyên đề 3 – Biến đổi & rút gọn căn thức bậc hai

A – LÝ THUYẾT

I . Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:

II . Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai:

• Bước 1: Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.
• Bước 2: Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức

Bài tập 1: Tính:

Bài tập 2: Tính:

a) A = $displaystyle sqrt{{sqrt{5}-sqrt{{3-sqrt{{29-6sqrt{{20}}}}}}}}$;

b) B = $displaystyle sqrt{{6+2sqrt{{5-sqrt{{13+sqrt{{48}}}}}}}}$;

c) C = $displaystyle sqrt{{4+sqrt{{5sqrt{3}+5sqrt{{48-10sqrt{{7+4sqrt{3}}}}}}}}}$.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính: B = $displaystyle frac{{sqrt{{2+sqrt{3}}}}}{2}:left( {frac{{sqrt{{2+sqrt{3}}}}}{2}-frac{2}{{sqrt{6}}}+frac{{sqrt{{2+sqrt{3}}}}}{{2sqrt{3}}}} right)$.

Bài tập 4: Thực hiện phép tính: A = $displaystyle left( {sqrt{{frac{{1+a}}{{1-a}}}}+sqrt{{frac{{1-a}}{{1+a}}}}} right):left( {sqrt{{frac{{1+a}}{{1-a}}}}-sqrt{{frac{{1-a}}{{1+a}}}}} right)$.

Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức: M = $displaystyle frac{{(x+1)sqrt{3}}}{{sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}}}$ với $displaystyle x=2+sqrt{3}$.

Bài tập 6: Cho $displaystyle a=frac{{-1+sqrt{2}}}{2}$, $displaystyle b=frac{{-1-sqrt{2}}}{2}$. Tính $displaystyle {{a}^{7}}+{{b}^{7}}$.

Bài tập 7: Cho biết: $displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}-sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=1$.

Tính:  $displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}+sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}$.

Bài tập 8: Cho biểu thức $displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}-sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=3$.

Tính giá trị của biểu thức: M = $displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}+sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}$.

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.

Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu: $displaystyle frac{{16-{{a}^{2}}}}{{2-sqrt{a}}}$

Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = $displaystyle sqrt{5}-sqrt{{3-sqrt{{29-12sqrt{5}}}}}$.

Bài tập 11: Rút gọn các biểu thức:

Bài tập 12: Rút gọn các biểu thức:

a) $displaystyle 2sqrt{{8sqrt{3}}}-2sqrt{{5sqrt{3}}}-3sqrt{{20sqrt{3}}}$;

b) $displaystyle sqrt{{343a}}+sqrt{{63a}}-sqrt{{28a}}$ với a ≥ 0;

c) $displaystyle -sqrt{{36b}}-frac{1}{3}sqrt{{54b}}+frac{1}{5}sqrt{{150b}}$ với b ≥ 0.

Bài tập 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể):

Bài tập 14: Rút gọn biểu thức: A = $displaystyle frac{{2+sqrt{3}}}{{sqrt{2}+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}+frac{{2-sqrt{3}}}{{sqrt{2}-sqrt{{2-sqrt{3}}}}}$.

Bài tập 15: Rút gọn các biểu thức:

Bài tập 16: Rút gọn các biểu thức:

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $displaystyle frac{{1+sqrt{5}}}{{sqrt{2}+sqrt{{3+sqrt{5}}}}}+frac{{1-sqrt{5}}}{{sqrt{2}-sqrt{{3-sqrt{5}}}}}$;

b) B = $displaystyle left( {frac{{1-asqrt{a}}}{{1-sqrt{a}}}+sqrt{a}} right){{left( {frac{{1-sqrt{a}}}{{1-a}}} right)}^{2}}$;

c) C = $displaystyle frac{{sqrt{x}-sqrt{y}}}{{xysqrt{{xy}}}}:left[ {left( {frac{1}{x}+frac{1}{y}} right).frac{1}{{x+y+2sqrt{{xy}}}}+frac{2}{{{{{left( {sqrt{x}+sqrt{y}} right)}}^{3}}}}.left( {frac{1}{{sqrt{x}}}+frac{1}{{sqrt{y}}}} right)} right]$

với $displaystyle x=2-sqrt{3}$ và $displaystyle y=2+sqrt{3}$.

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P = $displaystyle frac{{1-sqrt{{x-1}}}}{{sqrt{{x-2sqrt{{x-1}}}}}}$.

Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q = $displaystyle frac{{sqrt{{x+sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}-sqrt{{x-sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}}}{{sqrt{{2(x-y)}}}}$ với x > y > 0.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

A = $displaystyle left( {frac{1}{{sqrt{{x-1}}}}+frac{1}{{sqrt{{x+1}}}}} right):left( {frac{1}{{sqrt{{x-1}}}}-frac{1}{{sqrt{{x+1}}}}} right)$ với $displaystyle x=frac{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{{2ab}}$ và b > a > 0.

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: B = $displaystyle frac{{2asqrt{{1+{{x}^{2}}}}}}{{sqrt{{1+{{x}^{2}}}}-x}}$ với $displaystyle x=frac{1}{2}left( {sqrt{{frac{{1-a}}{a}}}-sqrt{{frac{a}{{1-a}}}}} right)$ và 0 < a < 1.

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: M = $displaystyle (a+b)-sqrt{{frac{{({{a}^{2}}+1)({{b}^{2}}+1)}}{{{{c}^{2}}+1}}}}$

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.

Bài tập 23: Rút gọn biểu thức: A = $displaystyle frac{{sqrt{{x+2sqrt{{x-1}}}}+sqrt{{x-2sqrt{{x-1}}}}}}{{sqrt{{x+sqrt{{2x-1}}}}+sqrt{{x-sqrt{{2x-1}}}}}}.sqrt{{2x-1}}$.

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A = $displaystyle sqrt{{1-a}}+sqrt{{a(a-1)}}+asqrt{{frac{{a-1}}{a}}}$.

Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A = $displaystyle frac{{x+3+2sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}{{2x-6+sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}$.

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: B = $displaystyle frac{{{{x}^{2}}+5x+6+xsqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}{{3x-{{x}^{2}}+(x+2)sqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}$.

Bài tập 27: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 3.

M = $displaystyle frac{{sqrt{{x-2sqrt{2}}}}}{{sqrt{{{{x}^{2}}-4xsqrt{2}+8}}}}-frac{{sqrt{{x+2sqrt{2}}}}}{{sqrt{{{{x}^{2}}+4xsqrt{2}+8}}}}$.

Bài tập 28: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $displaystyle frac{1}{{sqrt{1}+sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{2}+sqrt{3}}}+frac{1}{{sqrt{3}+sqrt{4}}}+…+frac{1}{{sqrt{{n-1}}+sqrt{n}}}$;

b) B = $displaystyle frac{1}{{sqrt{1}-sqrt{2}}}-frac{1}{{sqrt{2}-sqrt{3}}}+frac{1}{{sqrt{3}-sqrt{4}}}-…-frac{1}{{sqrt{{24}}-sqrt{{25}}}}$.

Bài tập 29: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) A = $displaystyle frac{1}{{sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{{2c}}}}$ trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b.

b) B = $displaystyle frac{1}{{sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{c}+sqrt{d}}}$ trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd và a + b ≠ c + d.

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình

Bài tập 30: Giải phương trình:

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) $displaystyle sqrt{{4x-12}}+sqrt{{9x-27}}-4sqrt{{x-3}}+3-x=0$;

b) $displaystyle sqrt{{25x+75}}+3sqrt{{x-2}}=2+4sqrt{{x+3}}+sqrt{{9x-18}}$;

c) $displaystyle sqrt{{49x-98}}-14sqrt{{frac{{x-2}}{{49}}}}=sqrt{{9x-18}}+8$;

d) $displaystyle sqrt{{x+sqrt{{2x-1}}}}+sqrt{{x-sqrt{{2x-1}}}}=sqrt{2}$.

Bài tập 32: Cho A = $displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x-frac{1}{{sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x}}$ trong đó x Î $displaystyle mathbb{R}$.

Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên.

Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thỏa mãn điều kiện:

$displaystyle sqrt{x}+sqrt{y}=sqrt{{931}}$

Bài tập 34: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho $displaystyle sqrt{{n+1}}-sqrt{n}<0,05$.

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 35: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: S = $displaystyle sqrt{{x-3}}+sqrt{{y-4}}$, biết x + y = 8.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Bài tập 36: Không dùng máy tính hoặc bảng số, so sánh các số sau:

a) $displaystyle -3sqrt{{11}}$ và $displaystyle -7sqrt{2}$;

b) $displaystyle frac{7}{2}sqrt{{frac{1}{{12}}}}$ và $displaystyle frac{9}{4}sqrt{{frac{1}{5}}}$;

c) $displaystyle sqrt{{frac{4}{{27}}}}$ và $displaystyle sqrt{{frac{3}{{26}}}}$.

Bài tập 37: Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: $displaystyle 4sqrt{5}-3sqrt{2}<5$.

Bài tập 38: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

a) $displaystyle sqrt{{c(a-c)}}+sqrt{{c(b-c)}}-sqrt{{ab}}le 0$ với a > c, b > c.

b) Nếu $displaystyle sqrt{{1+b}}+sqrt{{1+c}}ge 2sqrt{{1+a}}$ thì b + c ≥ 2a.

Bài tập 39:

Cho biểu thức: P = $displaystyle frac{{sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}}}{{sqrt{x}-frac{2}{{sqrt{x}}}}}$. Chứng minh rằng: P = $displaystyle left{ begin{array}{l}-sqrt{x},,,khi,,,0<x<2sqrt{x},,,,,,,khi,,,x>2end{array} right.$

Bài tập 40: Chứng minh rằng: $displaystyle frac{1}{2}+frac{1}{{3sqrt{2}}}+frac{1}{{4sqrt{3}}}+…+frac{1}{{2018sqrt{{2019}}}}<2$

Bài tập 41: Chứng minh rằng:

a) $displaystyle frac{1}{{1+sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{2}+sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{99}}+sqrt{{100}}}}=9$;

b) $displaystyle frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{225}}}}<28$.

Bài tập 42: Chứng minh rằng A < B với:

A = $displaystyle frac{1}{{sqrt{1}+sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{2}+sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{120}}+sqrt{{121}}}}$ và B = $displaystyle frac{1}{{sqrt{1}}}+frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{35}}}}$.

Bài tập 43: Chứng minh các hằng đẳng thức:

a) $displaystyle sqrt{{10+sqrt{{60}}-sqrt{{24}}-sqrt{{40}}}}=sqrt{3}+sqrt{5}-sqrt{2}$;

b) $displaystyle sqrt{{6+sqrt{{24}}+sqrt{{12}}+sqrt{8}}}-sqrt{3}=sqrt{2}+1$.

Bài tập 44: Cho A = $displaystyle sqrt{{10+sqrt{{24}}+sqrt{{40}}+sqrt{{60}}}}$.

Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của ba căn thức.

Bài tập 45: Chứng minh hằng đẳng thức sau với x ≥ 2:

$displaystyle sqrt{{sqrt{x}+sqrt{{frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}+sqrt{{sqrt{x}-sqrt{{frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}=sqrt{{frac{{2x+4}}{{sqrt{x}}}}}$

Bài tập 46: Chứng minh rằng $displaystyle frac{{2sqrt{{mn}}}}{{sqrt{m}+sqrt{n}+sqrt{{m+n}}}}=sqrt{m}+sqrt{n}-sqrt{{m+n}}$.

Áp dụng tính $displaystyle frac{{2sqrt{{10}}}}{{sqrt{2}+sqrt{5}+sqrt{7}}}$.

Bài tập 47: Chứng minh rằng $displaystyle frac{1}{{(n+1)sqrt{n}+nsqrt{{n+1}}}}=frac{1}{{sqrt{n}}}-frac{1}{{sqrt{{n+1}}}}$ với n ∈ $displaystyle {{mathbb{N}}^{*}}$.

Áp dụng tính tổng: $displaystyle S=frac{1}{{2sqrt{1}+1sqrt{2}}}+frac{1}{{3sqrt{2}+2sqrt{3}}}+…+frac{1}{{400sqrt{{399}}+399sqrt{{400}}}}$.

Bài tập 48: Tính giá trị của biểu thức:

$displaystyle M=frac{1}{{2sqrt{1}+1sqrt{2}}}+frac{1}{{3sqrt{2}+2sqrt{3}}}+frac{1}{{4sqrt{3}+3sqrt{4}}}+…+frac{1}{{25sqrt{{24}}+24sqrt{{25}}}}$.

Bài tập 49: Cho a = $displaystyle sqrt{2}-1$.

a) Viết a², a³ dưới dạng $displaystyle sqrt{m}-sqrt{{m-1}}$ trong đó m là số tự nhiên.

b^*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số aⁿ viết được dưới dạng trên.

Bài tập 50: Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.

A = $displaystyle frac{{{{x}^{4}}}}{{x-y}}.sqrt{{frac{1}{{{{x}^{6}}}}-frac{{2y}}{{{{x}^{7}}}}+frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{8}}}}}}$.

Bài tập 51: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của các biến.

P = $displaystyle frac{x}{{left( {sqrt{x}-sqrt{y}} right)left( {sqrt{x}-sqrt{z}} right)}}+frac{y}{{left( {sqrt{y}-sqrt{z}} right)left( {sqrt{y}-sqrt{x}} right)}}+frac{z}{{left( {sqrt{z}-sqrt{x}} right)left( {sqrt{z}-sqrt{y}} right)}}$.

Bài tập 52: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) Q = $displaystyle frac{1}{x}.left( {frac{{sqrt{{x+1}}+sqrt{{x-1}}}}{{sqrt{{x+1}}-sqrt{{x-1}}}}+frac{{sqrt{{x+1}}-sqrt{{x-1}}}}{{sqrt{{x+1}}+sqrt{{x-1}}}}} right)$ với x > 1.

b) R = $displaystyle frac{{2x}}{{x+3sqrt{x}+2}}+frac{{5sqrt{x}+1}}{{x+4sqrt{x}+3}}+frac{{sqrt{x}+10}}{{x+5sqrt{x}+6}}$ với x ≥ 0.

DẠNG 6: Các bài toán tổng hợp

Bài tập 53: Cho: M = $displaystyle frac{{sqrt{a}+6}}{{sqrt{a}+1}}$.

a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên;

b) Chứng minh rằng với a = $displaystyle frac{4}{9}$ thì M là số nguyên;

c) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

Bài tập 54: Cho biểu thức: M = $displaystyle frac{{sqrt{a}+2}}{{sqrt{a}-2}}$.

a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên.

b) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

Bài tập 55: Cho biểu thức: C = $displaystyle frac{{3x+sqrt{{9x}}-3}}{{x+sqrt{x}-2}}-frac{{sqrt{x}+1}}{{sqrt{x}+2}}+frac{{sqrt{x}+2}}{{1-sqrt{x}}}$.

a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa;

b) Rút gọn biểu thức C;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên.

Bài tập 56: Cho biểu thức: A = $displaystyle {{x}^{2}}-3xsqrt{y}+2y$.

a) Phân tích A thành nhân tử;

b) Tính giá trị của A khi $displaystyle x=frac{1}{{sqrt{5}-2}}$, $displaystyle y=frac{1}{{9+4sqrt{5}}}$.

Bài tập 57: Cho biểu thức:

P = $displaystyle left( {frac{{2sqrt{x}}}{{sqrt{x}+3}}+frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}-3}}-frac{{3x+3}}{{x-9}}} right):left( {frac{{2sqrt{x}-2}}{{sqrt{x}-3}}-1} right)$ với x ≥ 0 và x ≠ 9.

a) Rút gọn P;

b) Tìm các giá trị của x để P < $displaystyle -frac{1}{3}$.

c) Tìm các giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 58: Cho biểu thức: Q = $displaystyle frac{{2sqrt{x}-9}}{{x-5sqrt{x}+6}}-frac{{sqrt{x}+3}}{{sqrt{x}-2}}-frac{{2sqrt{x}+1}}{{3-sqrt{x}}}$.

a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa;

b) Rút gọn Q;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên.

Bài tập 59: Cho biểu thức P = $displaystyle frac{1}{{sqrt{x}+2}}-frac{5}{{x-sqrt{x}-6}}-frac{{sqrt{x}-2}}{{3-sqrt{x}}}$.

a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài tập 60: Cho biểu thức P = $displaystyle left( {frac{{sqrt{x}+sqrt{y}}}{{1-sqrt{{xy}}}}+frac{{sqrt{x}-sqrt{y}}}{{1+sqrt{{xy}}}}} right):left( {1+frac{{x+y+2xy}}{{1-xy}}} right)$.

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P với x = $displaystyle frac{2}{{2+sqrt{3}}}$;

c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài tập 61: Cho P = $displaystyle frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{{xy}}+sqrt{x}+2}}+frac{{sqrt{y}}}{{sqrt{{yz}}+sqrt{y}+1}}+frac{{2sqrt{z}}}{{sqrt{{zx}}+2sqrt{z}+2}}$.

Biết xyz = 4, tính $displaystyle sqrt{P}$.