40 đề thi Toán tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên

ĐỀ SỐ 25

Câu 1. Cho biểu thức A = $ left( frac{sqrt{x}}{sqrt{x}-1}-frac{1}{x-sqrt{x}} right):left( frac{1}{sqrt{x}+1}+frac{2}{x-1} right)$ với a > 0, a ≠ 1

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của A khi $ x=2sqrt{2}+3$ .

Câu 2. Cho phương trình x2 +ax + b + 1 = 0 với a, b là tham số.

1) Giải phương trình khi a = 3 và b = -5 .

2) Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn điều kiện: $ displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=9end{array} right.$ .

Câu 3. Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách nhau 24km. Cùng lúc đó, từ A một chiếc bè trôi về B với vận tốc dòng nước là 4 km/h.  Khi về đến B thì chiếc thuyền quay  lại ngay và gặp chiếc bè tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của chiếc thuyền.

Câu 4. Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA  kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.

Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn $ a+b+c=frac{1}{abc}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = (a + b)(a + c).